אורי אוזן גדל במחלקת הנוער של מכבי נתניה ועלה לקבוצה הבוגרת בשנת 1997, כשהיא היתה בליגה השנייה. בעונתו השנייה, 1998/99, עלתה נתניה לליגה הראשונה, ואוזן המשיך לשחק במדיה עד לסיום עונת 2003/04, בה ירדו הנתנייתים פעם נוספת.
על רקע ירידה זו, עזב אוזן את המועדון אחרי שבע עונות בקבוצה הבוגרת ועבר למכבי חיפה. הוא עלה בהרכב ב-11 המחזורים הראשונים, אך לאחר מכן ירד לספסל ועד לסיום העונה פתח עוד פעמיים נוספות בלבד ונכנס כמחליף שלוש פעמים, בין היתר גם בגלל פציעה ממושכת שעבר.
אחרי שגם בפתיחת עונת 2005/06 כמעט ולא ראה דשא למרות שהחלים, ונאלץ לראות מן היציע את קבוצתו דורסת את הליגה, עבר אוזן להפועל פ"ת בינואר 2006. דרכו בקבוצה החלה ברגל שמאל, כשבמשחקו הראשון מול מכבי ת"א במחזור ה-17 כדור שנגע בכתפו גרם לקוון לסמן לנגיעת יד ולשופט איתן תבריזי להרחיק אותו ולשרוק לפנדל שהוביל לאובדן ניצחון שכבר היה בכיס, אבל בהמשך הציג יכולת טובה שסייעה לקבוצה להישאר בליגה.
במחזור ה-30 הוא אף כבש שער ראשון ואחרון במדי הפועל, השער השלישי בניצחון 1:4 על סכנין. עם סיום העונה לא נעשתה פנייה מצד הקבוצה לאוזן, והוא חזר לקבוצה בה גדל, מכבי נתניה.
כעבור עונה עבר אוזן להפועל כפ"ס, ובעונת 2008/09 חזר שוב להפועל פ"ת. עונה זו התחילה לא רע עבור הקבוצה, אך היא נחלשה באופן הדרגתי ובסיום מצאה את עצמה בתחתית ונחלצה ממאבקי הירידה בקושי רב. אוזן היה אחד הבודדים ששמרו על יכולת סבירה לאורך רוב העונה. בעונה זו הוא גם קיבל את תפקיד בועט הפנדלים של הקבוצה והבקיע ארבעה כאלו - כולם בזמן הפציעות. את הפנדל היחיד שבעט במחצית הראשונה, מול מכבי נתניה, הוא החמיץ.
בסיום העונה שוחרר אוזן מהקבוצה, בדומה לכל שאר שחקני ההרכב של הקבוצה באותה עונה מלבד גל כהן. לאחר מכן הוא חתם ב-מ.ס אשדוד.
