עידן שמש גדל במחלקת הנוער של הפועל ראשון לציון, ובגיל 18 עבר לקבוצת הנוער של מכבי תל אביב, שם שיחק עונה אחת. בעונת 2009/10 הושאל להפועל מרמורק מהליגה הלאומית. קריירת הבוגרים החלה ברגל שמאל לאחר שבעונתו הראשונה כמעט ולא שיחק, הקבוצה ירדה לליגה א' והוא שוחרר בסיום הקבוצה.
בדצמבר 2010 חזר למרמורק, הפעם להרכב, וסייע לקבוצה להישאר בליגה א'. בעונת 2011/12 המשיך בקבוצה וכבש שבעה שערים. בעונת 2012/13 חתם שמש בהפועל קטמון, שם כבש 16 שערים ועלה עם הקבוצה לליגה הלאומית. הוא המשיך שם עונה נוספת וכבש 11 שערים.
בעונת 2014/15 הגיע לראשונה לליגת העל, לאחר שחתם במכבי פתח תקוה, שם שיחק שנתיים וכבש חמישה שערי ליגה ושניים בגביע, אחד מהם בדקה ה-90 בדרבי מול הפועל פתח תקוה. משם המשיך לבני סכנין, שם שיחק שנתיים וכבש תשעה שערי ליגה.
בעונת 2018/19 שיחק בנס ציונה מהלאומית ובהפועל חיפה מליגת העל. לאחר מכן שיחק עונה אחת בהפועל רעננה, ובעונת 2020/21 חזר להפועל ירושלים, שם כבש בצרורות עם 21 שערי ליגה ועלייה לליגת העל.
הוא הסתכסך שם עם המאמן זיו אריה לאחר שלא קיבל מקום בהרכב, ובאמצע העונה עבר להפועל אום אל פאחם.
ביוני 2022 חתם עידן שמש בהפועל פתח תקוה. הוא כבש צמד בהופעת הבכורה שלו בגביע הטוטו מול בני יהודה, יומיים לפני יום הולדתו ה-32. גם בשני משחקי הליגה הראשונים שלו כבש, בניצחונות 0:1 על מ.ס כפר קאסם ו-1:2 מול מכבי יפו, אך במשחק השני נפצע בדקה ה-40.
הוא נעדר כחודש, ולאחר שחזר המשיך להפגיז ובמחזור התשיעי כבר היה עם שישה שערים (בשש הופעות בהרכב ועוד אחת כמחליף). אבל הפציעה שלו בסופו של דבר מנעה ממנו להמשיך ביכולת הטובה, וגם הובילה להיעדרויות נוספות. עד לסיום העונה הוא הסתפק ב-4 שערים ב-19 הופעות, ועוד צמד בגביע (ב-2:3 על מ.ס טירה).
גם כך, הוא סיים את העונה עם 10 שערים וסייע לקבוצה להעפיל לליגת העל. עם סיום העונה שוחרר וחתם בבני שפרעם, העולה הטרייה לליגה הלאומית. הוא כבש שם שני שערים בלבד בעשרים הופעות, והקבוצה ירדה בחזרה לליגה א' מהמקום האחרון.
עם סיום עונת 2023/24 הודיע עידן שמש על פרישה ממשחק פעיל. ב-2025/26 הצטרף לגיסין 1912, קבוצת אוהדים חדשה של מכבי פתח תקוה בליגה ג'.
קישורים:
עידן שמש (נפתח בכרטיסייה חדשה) - ויקיפדיה
ההתאחדות לכדורגל (נפתח בכרטיסייה חדשה) - עמוד שחקן
ספורט 5 (נפתח בכרטיסייה חדשה) - עידן שמש חתם בהפועל פ"ת (יוני 2022)
וואן (נפתח בכרטיסייה חדשה) - ראיון עם עידן שמש לקראת פתיחת עונה בהפועל פ"ת (אוגוסט 2022)
