אפי בסון גדל במחלקת הנוער של הפועל פ"ת ורשם הופעת בכורה במדי הקבוצה הבוגרת לקראת סיום עונת 1994/95 כשנכנס כמחליף. הוא שותף גם במשחק הבא, ובעונה הבאה רשם תשע הופעות נוספות, כולן אחרי שעלה מן הספסל. לאחר מכן עזב לעונה בשמשון ת"א, חזר להפועל ושותף ברבע השעה האחרונה של הניצחון הביתי על פלורה טאלין במסגרת גביע אופ"א, ובכך תם הפרק שלו בקבוצה.
מהפועל עבר לחצי שנה במכללת יוקון (קונטיקט, ארה"ב), חזר לחצי שנה ברמה"ש והמשיך שם גם בעונה הבאה, 1999/2000. אחרי עונה זו, כשהוא בן 24, החליט לפרוש מכדורגל מכיוון שנראה היה שהקריירה שלו כשחקן לא הולכת לשום מקום.
הוא התחיל ללמוד מדעי המחשב ומתמטיקה, ובהמשך עסק בתחום.
