שלומי אדרי עשה את צעדיו הראשונים בכדורגל במחלקת הנוער של הפועל מזכרת בתיה, ובגיל נערים עבר למכבי חיפה. קבוצת הבוגרים הראשונה בה הופיע היתה מכבי הרצליה מהליגה השנייה, בעונת 2001/02, וכעבור שנה עבר להפועל פ"ת.
אדרי פתח את העונה עם שער במחזור השני, לרשת מכבי פ"ת בניצחון 0:3 מרשים בדרבי, ובסה"כ כבש בעונה זו חמישה שערים. במחזור הסיום של העונה הוא זכה לעמוד במרכז הבמה, אך לא בהקשר חיובי במיוחד - הפועל אירחה את מכבי ת"א (במשחק שהועבר לאיצטדיון ר"ג), כשזו חייבת ניצחון בהפרש גבוה על מנת לזכות באליפות. בדקה ה-62, במצב של 0:0, קיבל אדרי כדור מצוין מול שער ריק, ויכל להבקיע שער שהיה מחריב כמעט סופית את סיכויי התל-אביבים, אך מעד ופתח את הדרך לניצחון 0:3 שזיכה אותם בתואר על חשבון מכבי חיפה.
בעונה הבאה, 2003/04 הגיעה סגירת מעגל ראויה - במשחק מול מכבי ת"א שסגר את הסיבוב הראשון, פסל השופט מנשה משיח שער של טומיסלאב ארצג באופן שערורייתי, לאחר שכבר אישר אותו. התסכול של הקהל והשחקנים היה בשיאו, עד שהגיע אדרי דקה לסיום, ונגח שער ניצחון נהדר.
בהמשך כבש שני שערים נוספים, לרשת מכבי חיפה והפועל בא"ש, אבל בסופו של דבר לא הרשים ושוחרר עם סיום העונה.
לאחר מכן המשיך בנדודיו, ושיחק בבני סכנין, הפועל חיפה, מכבי נתניה, הכח ר"ג, עירוני ראשל"צ והפועל עכו.
