שניר דורי גדל במחלקת הנוער של הפועל פ"ת, והופיע לראשונה במדי הקבוצה הבוגרת בעונת 2007/08, כשהקבוצה עלתה לליגה הראשונה והוא עמד בשער בארבעת המשחקים האחרונים של העונה, בהם ספג שער אחד בלבד.
בעונה הבאה שימש כמחליף של שביט אלימלך, ובעונת 2009/10 פתח את העונה כשוער הראשון של הקבוצה. הוא לא החזיק זמן רב במעמד החדש - החל מהמחזור העשירי החליף אותו צליל חתוכה, ובאמצע העונה הצטרף גם אוסטין אג'ידה הניגרי. אג'ידה נפצע, אבל את מקומו תפס יוסי שקל.
גם עונת 2010/11 פתח דורי כשוער ראשון, אך חזר לספסל באמצע העונה, לאחר שאג'ידה חזר מפציעתו הממושכת. בעונה הבאה ירדה הקבוצה ליגה ואג'ידה עזב בסיומה. הפעם, בליגה השנייה, הוא נותר בין הקורות לאורך העונה כולה.
בעונת 2013/14 עזב דורי את הפועל פ"ת וחתם במכבי נתניה, שם שימש כשוער מחליף.
