שלומי חנוכה גדל במחלקת הנוער של מכבי חיפה וב-2007 הצטרף להפועל עכו, שם הופיע ב-17 משחקים בליגה הלאומית. בעונת 2007/08 עבר להפועל נוף הגליל, וב-2008/09 לאחי נצרת. הוא עלה ליגה עם הנצרתים, ושיחק איתם לראשונה בקריירה בליגת העל, אך הקבוצה נשרה בחזרה לליגה השנייה.
בעונת 2010/11 חזר ללאומית ושיחק בהפועל הרצליה, ובעונת 2011/12 במכבי בת ים. בעונת 2012/13 הצטרף להפועל עפולה מליגה א', עלה איתה ללאומית, והמשיך במדיה חמש עונות, עד לסיום עונת 2016/17.
בקיץ 2017 עזב חנוכה את עפולה והצטרף להפועל פתח תקוה. הקבוצה לא הצליחה להשתלב בצמרת, על רקע קשיים כלכליים והתנהלות בעייתית, חנוכה לא הותיר חותם מיוחד, ובאמצע העונה עבר לאחי נצרת.
בעונת 2018/19 שיחק חנוכה בהפועל מגדל העמק מליגה א', ובעונת 2019/20 בהפועל איכסל, איתה עלה ללאומית. בעונת 2020/21 רשם שתי הופעות במדי הפועל טירת הכרמל מליגה ב', ולאחר מכן פרש מכדורגל, בגיל 36.
קישורים:
ההתאחדות לכדורגל (נפתח בכרטיסייה חדשה) - עמוד שחקן
ויקיפדיה (נפתח בכרטיסייה חדשה) - שלומי חנוכה (אנגלית)
הפועל פ"ת, פייסבוק (נפתח בכרטיסייה חדשה) - שלומי חנוכה חתם בקבוצה (יוני 2017)
