אבנר כהן גדל במחלקת הנוער של הפועל פ"ת והצטרף לקבוצה בעונת 1976/77. במשחקו השני כבש שער כבר בדקה השלישית, בדרך לניצחון 0:3 על הפועל נתניה, אך במשחקו השלישי הורחק בעקבות קטטה עם שחקן הפועל ר"ג יוסי נעים.
גם במשחקו החמישי עמד כהן במרכז העניינים, כאשר כבש את הפנדל ה-11 והאחרון של הקבוצה בניצחון בגביע על הפועל ר"ג שחתם את דו קרב הפנדלים הארוך בתולדות המועדון, והונף על כתפי האוהדים.
אחרי המשך עונה סולידי יותר הוא המשיך בקבוצה גם בעונת 1977/78, אך כמעט לא זכה להזדמנויות לאחר שבמחזור החמישי נכנס כמחליף במחצית והוחלף כעבור רבע שעה. הוא שיחק פעם נוספת בלבד בעונה זו, ובכך תמה הקדנציה שלו במועדון, ויתכן שגם קריירת המשחק כולה.
