שלמה נומה גדל במחלקת הנוער של גדנ"ע יהודה ועבר בגיל 18 להפועל פ"ת. בעונת 1960/61 הוא שיחק בקבוצת המילואים, ושותף במשחקי הקבוצה הראשונה כאשר אחד משחקני ההגנה היה חולה או פצוע. ב-1961/62 פתח בהרכב בחמשת המשחקים הראשונים, אבל אז נפצע במשחק הביתי מול הפועל ת"א והושבת עד סיום העונה.
בעונה שלאחר מכן שיחק בשלבים המוקדמים של הגביע ובשני משחקי ליגה נוספים, אבל ב-1963/64 לא שותף כלל. לקראת סיום עונת 1964/65 הועלה להרכב ע"י המאמן שמילוביץ' דווקא ב"משחק העונה" מול הכח ר"ג, בו הפסידה הקבוצה ובסופו של דבר פספסה את האליפות.
מהפועל עבר לשמשון ת"א, שם כבר שיחק בהרכב הפותח על בסיס קבוע. כעבור ארבע שנים עבר להפועל חולון, אך נפצע כעבור חודש והחליט לפרוש מכדורגל בסיום העונה. לאחר שפרש החל לעבוד כנהג מונית.
שלמה נומה הלך לעולמו ב-19 באוקטובור 2019, בגיל 77.
